NON FARLO PIU'! In tutte maiuscolo puoi scrivere mezza riga, mica tutto! E leggi il paragrafo 3.1 del Regolamento, che ti serve con impellenza. ------------------------------ Il quesito "2) scrivi l equazione" si tratta per ultimo. I quesiti "1) verifica che" e "3) determina l equazione" si trattano insieme. I punti * O(0, 0, 0), A(0, 6, 0), B(0, 3, 3*√3), C(2*√6, 3, √3) sono vertici di un tetraedro regolare (#1) se valgono due condizioni: * gli si può costruire intorno una sfera circoscritta non degenere (#3); * le mutue distanze hanno tutte lo stesso valore. --------------- L'equazione della sfera generica in forma normale standard * Γ ≡ (x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = q = r^2 ha quattro parametri: raggio r (o q = r^2) e coordinate del centro C(a, b, c). Ciascuna delle quattro condizioni di passaggio dà un vincolo sui parametri * per O(0, 0, 0): (0 - a)^2 + (0 - b)^2 + (0 - c)^2 = q * per A(0, 6, 0): (0 - a)^2 + (6 - b)^2 + (0 - c)^2 = q * per B(0, 3, 3*√3): (0 - a)^2 + (3 - b)^2 + (3*√3 - c)^2 = q * per C(2*√6, 3, √3): (2*√6 - a)^2 + (3 - b)^2 + (√3 - c)^2 = q il sistema dei vincoli * (a^2 + b^2 + c^2 - q = 0) & (a^2 + b^2 + c^2 - q - 12*b + 36 = 0) & (a^2 + b^2 + c^2 - q - 6*b - (6*√3)*c + 36 = 0) & (a^2 + b^2 + c^2 - q - (4*√6)*a - 6*b - (2*√3)*c + 36 = 0) ≡ ≡ (a^2 + b^2 + c^2 - q = 0) & (- 12*b + 36 = 0) & (- 6*b - (6*√3)*c + 36 = 0) & (- q - (4*√6)*a - 6*b - (2*√3)*c + 36 = 0) ≡ ≡ (a = 0) & (b = 3) & (c = √3) & (q = 12 ≡ r = 2*√3) oppure ≡ (a = - 4*√6) & (b = 3) & (c = √3) & (q = 108 ≡ r = 6*√3) --------------- Le sei distanze da calcolare, verificate eguali, sono * |OA| = |OB| = |OC| = |AB| = |AC| = |BC| = 6 e poiché * 2*√3 < 2*3 = 6 < 6*√3 e il circumraggio dev'essere minore dello spigolo, la circumsfera è * Γ ≡ x^2 + (y - 3)^2 + (z - √3)^2 = 12 = (2*√3)^2 ------------------------------ Applicando lo stesso metodo all'equazione del generico piano in forma normale canonica * a*x + b*y + c*z + d = 0 si trova che * il piano per ACO è: x - (2*√2)*z = 0 * il piano per ACB è: (√2)*x + (2*√3)*y + 2*z - 12*√3 = 0 * la retta congiungente A con C è la loro intersezione ** (x - (2*√2)*z = 0) & ((√2)*x + (2*√3)*y + 2*z - 12*√3 = 0)