[Risolto] Test d'ingresso primo anno triennale, trova le soluzioni

Problema:

Il quesito posto risulta esser tratto dalla prova d'ammissione al primo anno di Matematica e Fisica alla Scuola Normale Superiore di Pisa dell'anno 2023. Così recita: 

Esercizio 2. Se a è un parametro reale positivo, calcolate il numero N(a) di soluzioni in x dell'equazione $sin(a(sinx+cos²x))=0$ con $0≤x≤\frac{π}{2}$ .

Soluzione: [La soluzione  che sembra essere corretta è la seconda con una diversa interpretazione del testo]

Credo si risolva così, ma attendo conferma di qualcuno più esperto dato che devo ancora iniziare il primo anno di università. 

$\sin(a(sinx+\cos²x))=0$ con $a\in\mathbb{R^{+}}$

ponendo $φ=a(sinx+\cos²x)=0$ si ottiene

$\sin(φ)=0$ il quale risulta in $φ=kπ$ con $k\in\mathbb{Z}$ .

$a(sinx+\cos²x)=kπ$ $\rightarrow$ $a(sinx+1-\sin²x)=kπ$

Ponendo $sinx=t$ si ottiene

$at²-at-1+kπ=0$

la quale per essere risolta necessita la determinazione del discriminante Δ da porre nella formula risolutiva delle equazioni di secondo grado, dunque si ha

$∆=a²-4(a)(kπ-1)=a²-4akπ+4a$ che risulta in

$t=\frac{a\pm\sqrt{a²-4akπ+4a}}{2a}$

Sostituendo ancora si ottiene

$sinx=\frac{a\pm\sqrt{a²-4akπ+4a}}{2a}$ che risulta in

$x=N(a)=\arcsin(\frac{a\pm\sqrt{a²-4akπ+4a}}{2a})+k'π$ con $k'\in\mathbb{Z}$

Dato che $x\in[0;π/2]$ allora $N(a)=\arcsin(\frac{a+\sqrt{a²+4a(1-kπ)}}{2a})$ , con $k\in\mathbb{Z}$\A dove $A:=(\frac{1}{π};+∞)$ poiché 1-kπ≥0 ossia k≤1/π.

Sapendo che $0\le x=N(a)\le \frac{π}{2}\longrightarrow0\le \arcsin(\frac{a+\sqrt{a²-4akπ+4a}}{2a})\le \frac{π}{2}$ si giunge al sistema $\begin{cases}
\frac{a+\sqrt{a^2+4a(1-kπ)}}{2a}\ge 0 \\
\frac{a+\sqrt{a^2+4a(1-kπ)}}{2a}\le \frac{π}{2}
\end{cases}$

$\begin{cases}
a+\sqrt{a^2+4a(1-kπ)}\ge 0 \text{, poichè a è positivo} \\
a+\sqrt{a^2+4a(1-kπ)}\le 2a
\end{cases}$

$\begin{cases}
\sqrt{a^2+4a(1-kπ)}\ge -a \\
\sqrt{a^2+4a(1-kπ)}\le a
\end{cases}$

$\begin{cases}
\forall a\in\mathbb{R}^+\to 4a(1-kπ)\ge 0\to k\le \frac{1}{π} \\
a^2+4a(1-kπ)\le a^2
\end{cases}$

$\begin{cases}
k\le \frac{1}{π} \\
4a(1-kπ)\le 0\to k\ge \frac{1}{π}
\end{cases} $ 

che si risolve per $k=\frac{1}{π}$ e dunque $N(a)=\arcsin(\frac{a+\sqrt{a²+4a(1-\frac{π}{π})}}{2a})$ ossia $N(a)=\arcsin(\frac{a+\sqrt{a²+4a(1-1)}}{2a})\to N(a)=\arcsin(\frac{a+\sqrt{a²}}{2a})\longrightarrow N(a)=\arcsin(\frac{2a}{2a})$

con $a\in\mathbb{R^{+}}$

Sembra non tornare dato che l'immagine della funzione finale $f_{N(a)}=\sin(a(\sin(\arcsin(\frac{2a}{2a}))+\cos^2(\arcsin(\frac{2a}{2a}))))$ al variare di a tale che $a\in\mathbb{R^{+}}$ è per ovvie ragioni
$I_{f(N(a))}\in[-1;1]$ 

[METODO CORRETTO]

Forse restringendo i valori di $θ=sinx+cos²x$ a $θ=π$ oppure $θ=0$ si dovrebbe giungere all'equazione $sin(aθ)=0$ che è sempre verificata per qualsiasi valore di $a\in\mathbb{R^{+}}$.

$sinx+1-sin²x=0$

$t²-t-1=0$ 

$t=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$

$sinx=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$ 

poiché la soluzione positiva non è ammessa per le condizioni di esistenza della funzione arcoseno bisogna prendere la seconda ossia:

$x=\arcsin(\frac{1-\sqrt{5}}{2})$ e dunque vedendo il vecchio $f_{N(a)}$, in modo totalmente diverso da prima, come N(A) si ottiene che $N(A)=\sin(a(sin(\arcsin(\frac{1-\sqrt{5}}{2}))+\cos²(\arcsin(\frac{1-\sqrt{5}}{2}))))$ che è verificata per $\forall a\in\mathbb{R}^+$

sin x + cos^2(x) = 1 - sin^2(x) + sin x

Nell'intervallo da 0 a pi/2 questa funzione é sempre positiva inoltre la puoi riscrivere

1 - sin^2(x) + sin x - 1/4 + 1/4 = 5/4 - (sin x - 1/2)^2

per cui varia tra 1 e 5/4

Fissato a, quindi,  l'argomento del seno esterno varia tra a e 5/4 a

e deve valere k pi se vogliamo che ne sia uno zero

a < k pi < 5/4 a

a/pi < k < 5a/(4pi)

Se k deve essere almeno 1   

1 < 5a/4pi

5a/4pi > 1

a> 4/5 pi = 2.513

In generale calcoli  l'intervallo ] a/pi, 5a/(4pi) [

e prendi tutti gli interi che vi sono contenuti

( interi contenuti in un intervallo di ampiezza a/(4pi) ). Questo sarà N(a).

Mi spiace aver portato a termine l'esercizio solo in modo approssimato ma mi sembra che -

alla faccia del test di ingresso - questi problemi richiedano già una laurea in matematica.