[Risolto] Test d'ingresso

Problema: [NON RISOLTO]

Il quesito posto risulta esser tratto dalla prova d'ammissione al primo anno di Matematica e Fisica alla Scuola Normale Superiore di Pisa dell'anno 2023. Così recita:

Esercizio 3. Siano R un numero reale positivo e k un intero positivo; sia inoltre X un insieme finito con n elementi contenuto nel disco 

$D=\{ (x,y)\in\mathbb{R}^2:x^2+y^2\le R^2 \}$

di centro l’origine e raggio R del piano euclideo $\mathbb{R}^2$. Supponiamo che, per ogni punto $(x_0;y_0)$ di $\mathbb{R}^2$, il disco $\{ (x,y)\in\mathbb{R}^2:(x-x_0)^2+(y-x_0)^2\le 1 \}$ di raggio 1 centrato in  $(x_0;y_0)$  contenga al più k punti di X (in altre parole ogni punto del piano $\mathbb{R}^2$ ha distanza strettamente minore di 1 da al più k punti di X). Dimostrate che vale la disuguaglianza $n\le k(R+1)^2$. 

Soluzione:

Appena posso lo risolvo. 

L'immagine che segue è stata realizzata tramite l'elaboratore grafico Geogebra.

Testo orribile! Un solo segno con due significati! Non merita nulla, cambia libro.