[Risolto] TEOREMI SULLE FUNZIONI DERIVABILI.

Problema:

Sapendo che $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a x+\sin b x+\sin c x}{5 x+3 x^3+2 x^5}=4$, quanto vale $a+b+c$?

Soluzione:

Per risolvere questa tipologia di quesito è opportuno applicare il teorema di de l'Hôpital fin quando non si ottengono tutti i valori richiesti.

Tramite le tendenze asintotiche è possibile riscrivere il limite come:

$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a x+\sin b x+\sin c x}{5 x+3 x^3+2 x^5}=4 \rightarrow \lim _{x \rightarrow 0} \frac{a x + b x+c x}{5 x+3 x^3+2 x^5}=4 \rightarrow \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x(a+b+c)}{5 x+3 x^3+2 x^5}=4$

Applicando il teorema di de l'Hôpital si ottiene:

$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x(a+b+c)}{5 x+3 x^3+2 x^5}=4 \rightarrow \lim _{x \rightarrow 0} \frac{a+b+c}{5+9x²+10x⁴}=4$

Sostituendo $x \rightarrow 0$:

$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a+b+c}{5+9x²+10x⁴}=4 \rightarrow \frac{a+b+c}{5}=4$

Risolvendo l'equazione si ottiene dunque:

$a+b+c=20$.