Considera la funzione $f(x)=a^{\frac{1}{\ln \sqrt{x}}}$, con $a>0$ e $a \neq 1$. Determina per quali valori di $a$ essa:
a. es strettamente crescente in ciascuno degli intervalli in cui è definita;
b. é strettamente decrescente in ciascuno degli intervalli in cui è definita;
c. presenta due punti di flesso;
d. é convessa nel suo insieme di definizione.
|a. $0<a<1$; b. $a>$ I; c. $0<a<\sqrt{e}, \operatorname{con} a \neq 1$ i d. $a \geq \sqrt{e} \mid$
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Livello 2
Riscriviamo la funzione come
$ f(x) = a^{\frac{2}{ln(x)}} \quad \implies \quad ln(f(x) = \frac {2ln(a)}{ln(x)} \quad \implies \quad f(x) = e^{\frac{2ln(a)}{ln(x)}}$
a discriminare il segno della derivata prima è il fattore ln(a), per cui
a. Se a∈(0,1) allora f'(x) > 0 quindi la funzione data f(x) è crescente nei due intervalli (0, 1) e (1, +∞)
b. Se a>1 allora f'(x) < 0 quindi la funzione data f(x) è decrescente nei due intervalli (0, 1) e (1, +∞)
c. due punti di flesso.
La derivata seconda vale $ f^{(2)}(x) = \frac {2ln(a)a^{\frac{2}{ln(x)}}}{x^2ln^4(x)} (ln^2(x)+2ln(x)+ln(a^2))$
Il fattore che discrimina il segno è costituito dal trinomio in ln(x).
Per avere due flessi il trinomio deve avere due soluzioni, cioè il suo discriminante deve essere positivo.
Δ > 0
$ Δ = 1- ln(a^2) > 0$
$ 1 > ln(a^2) $
$ e > a^2$
$ 0 < a < \sqrt{e}$ con a ≠ 1
d. Convessa nell'intero dominio.
Se la derivata seconda risulta maggiore o al più eguale a zero la funzione risulta convessa
$ f^{(2)}(x) \ge 0$
I fattore che discrimina il segno è $ln(a)(ln^2(x)+2ln(x)+ln(a^2))$ per cui
$ ln(a)(ln^2(x)+2ln(x)+ln(a^2)) \ge 0$
Per essere verificato i fattori dovranno avere segni concordi.
i) entrambi segni positivi
i.1) Per essere convessa nell'intero insieme di definizione il trinomio dovrà essere positivo per ogni x, e questo è verificato se il suo discriminante risulterà negativo.
$ Δ = 1- ln(a^2) \le 0$
$ a \ge \sqrt{e}$
i.1) ln(a) > 0 ⇒ a > 1
Il requisito è verificato per a ≥ √e
ii) Entrambi segni negativi.
Il trinomio non può avere segno negativo per ogni valore delle x. Quindi nessun contributo alla soluzione.
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Livello 2
