[Risolto] TEOREMI SULLE FUNZIONI DERIVABILI.

Riscriviamo la funzione come

$ f(x) = a^{\frac{2}{ln(x)}} \quad \implies \quad ln(f(x) = \frac {2ln(a)}{ln(x)}  \quad \implies \quad f(x) = e^{\frac{2ln(a)}{ln(x)}}$

• Dominio = (0,1) U (1, +∞)
• Derivata prima. $ f'(x) = -2 ln(a) \frac{a^{\frac{2}{ln(x)}}}{xln^2(x)}$

a discriminare il segno della derivata prima è il fattore ln(a), per cui

a.  Se a∈(0,1) allora f'(x) > 0 quindi la funzione data f(x) è crescente nei due intervalli (0, 1) e (1, +∞)

b.  Se a>1 allora f'(x) < 0 quindi la funzione data f(x) è decrescente nei due intervalli (0, 1) e (1, +∞)   

c.   due punti di flesso.

La derivata seconda vale $ f^{(2)}(x) = \frac {2ln(a)a^{\frac{2}{ln(x)}}}{x^2ln^4(x)} (ln^2(x)+2ln(x)+ln(a^2))$

Il fattore che discrimina il segno è costituito dal trinomio in ln(x).

Per avere due flessi il trinomio deve avere due soluzioni, cioè il suo discriminante deve essere positivo.

Δ > 0

$ Δ = 1- ln(a^2) > 0$

$ 1 > ln(a^2) $

$ e > a^2$

$ 0 < a < \sqrt{e}$ con a ≠ 1

d.  Convessa nell'intero dominio.

Se la derivata seconda risulta maggiore o al più eguale a zero la funzione risulta convessa

$ f^{(2)}(x) \ge 0$

I fattore che discrimina il segno è $ln(a)(ln^2(x)+2ln(x)+ln(a^2))$ per cui

$ ln(a)(ln^2(x)+2ln(x)+ln(a^2)) \ge 0$

Per essere verificato i fattori dovranno avere segni concordi.

i) entrambi segni positivi

i.1) Per essere convessa nell'intero insieme di definizione il trinomio dovrà essere positivo per ogni x, e questo è verificato se il suo discriminante risulterà negativo.

$ Δ = 1- ln(a^2) \le 0$

$ a \ge \sqrt{e}$

i.1) ln(a) > 0 ⇒ a > 1

Il requisito è verificato per a ≥ √e

ii) Entrambi segni negativi.

Il trinomio non può avere segno negativo per ogni valore delle x. Quindi nessun contributo alla soluzione.