769 Sia $f: R \rightarrow R$ derivabile in 0 , tale che $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(4 x)-f(-3 x)}{x}=-7$. Quanto vale $f^{\prime}(0)$ ? Perché non è possibile utilizzare il teorema di de l'Hopital?
769 Sia $f: R \rightarrow R$ derivabile in 0 , tale che $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(4 x)-f(-3 x)}{x}=-7$. Quanto vale $f^{\prime}(0)$ ? Perché non è possibile utilizzare il teorema di de l'Hopital?
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Livello 2
Problema:
Sia $f: R \rightarrow R$ derivabile in 0, tale che $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(4 x)-f(-3 x)}{x}=-7$. Quanto vale $f'(0)$? Perché non è possibile utilizzare il teorema di de l'Hôpital?
Soluzione:
Poiché non si è a conoscenza del fatto che $f$ sia derivabile anche nel resto di $\mathbb{R}$ oltre che in 0, non è possibile applicare il teorema di de l'Hôpital. (???)
Per la definizione di derivata si ha che, in $x=0$, il valore di $f(4x)$ è approssimabile a $4xf'(4\times0)=4xf'(0)$ mentre quello di $f(-3x)$ è approssimabile a $-3xf'(-3\times0)=-3xf'(0)$.
Sostituendo nel limite si ha dunque:
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(4 x)-f(-3 x)}{x}=-7 \rightarrow \lim _{x \rightarrow 0} \frac{7xf'(0)}{x}=-7 \rightarrow 7f'(0)=-7 \rightarrow f'(0)=-1$
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Livello 4