Sia $f: R \rightarrow R$ derivabile in 0, con $f^{\prime}(0)=2$. Calcola: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(4 x)-f(-3 x)}{x}$. Perché non è possibile utilizzare il teorema di de l'HÓpital?
(Suggerimento: $\frac{f(4 x)-f(-3 x)}{x}=\frac{f(4 x)-f(0)-(f(-3 x)-f(0))}{x}$ )
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Livello 2
Problema:
Sia $f: R \rightarrow R$ derivabile in 0, con $f^{\prime}(0)=2$. Calcola: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(4 x)-f(-3 x)}{x}$. Perché non è possibile utilizzare il teorema di de l'Hôpital?
(Suggerimento: $\frac{f(4 x)-f(-3 x)}{x}=\frac{f(4 x)-f(0)-(f(-3 x)-f(0))}{x}$ ).
Soluzione:
Poiché non si è a conoscenza del fatto che $f$ sia derivabile anche nel resto di $\mathbb{R}$ oltre che in 0, non è possibile applicare il teorema di de l'Hôpital. (???)
Per la definizione di derivata si ha che, in $x=0$, il valore di $f(4x)$ è approssimabile a $4xf'(4\times0)=8x$ mentre quello di $f(-3x)$ è approssimabile a $-3xf'(-3\times0)=-6x$.
Sostituendo nel limite si ha dunque:
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(4 x)-f(-3 x)}{x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{-8x+6x}{x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{14 x}{x}=14$
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Livello 4
