[Risolto] TEOREMI SULLE FUNZIONI DERIVABILI.

Problema:

Per quali valori dei parametri reali $a$ e $b$ il limite $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1+a \cos x}{x+b \sin x}$ risulta uguale a $0$?

Soluzione:

Il limite può esser riscritto in forma più semplice tramite l'ausilio delle tendenze asintotiche:

$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1+a \cos x}{x+b \sin x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1+a \cos x}{x+bx}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1+a \cos x}{x(1+b)}$

Il limite per essere pari a 0 deve possedere il numeratore pari a 0 per $x \rightarrow 0$

$1+a \cos(0)=0 \rightarrow a=-1$.

Per discutere il valore del parametro reale $b$ è necessario applicare il teorema di de l'Hôpital:

$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1- \cos x}{x(1+b)}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{+ \sin x}{1+b}$

In questo caso il limite per esser pari a 0 deve possedere il denominatore diverso da 0 per $x \rightarrow 0$:

$1+b≠0 \rightarrow b≠-1$