Per quali valori dei parametri reali $a$ e $b$ il limite $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1+a \cos x}{x+b \sin x}$ risulta uguale a 0 ?
$$
[a=-1 \text { e } b \neq-1]
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Per quali valori dei parametri reali $a$ e $b$ il limite $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1+a \cos x}{x+b \sin x}$ risulta uguale a 0 ?
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[a=-1 \text { e } b \neq-1]
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Problema:
Per quali valori dei parametri reali $a$ e $b$ il limite $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1+a \cos x}{x+b \sin x}$ risulta uguale a $0$?
Soluzione:
Il limite può esser riscritto in forma più semplice tramite l'ausilio delle tendenze asintotiche:
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1+a \cos x}{x+b \sin x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1+a \cos x}{x+bx}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1+a \cos x}{x(1+b)}$
Il limite per essere pari a 0 deve possedere il numeratore pari a 0 per $x \rightarrow 0$
$1+a \cos(0)=0 \rightarrow a=-1$.
Per discutere il valore del parametro reale $b$ è necessario applicare il teorema di de l'Hôpital:
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1- \cos x}{x(1+b)}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{+ \sin x}{1+b}$
In questo caso il limite per esser pari a 0 deve possedere il denominatore diverso da 0 per $x \rightarrow 0$:
$1+b≠0 \rightarrow b≠-1$