Considera la funzione $f(x)=a \cos ^2 x+b \cos x$.
a. Determina $a$ e $b$ in modo che il suo grafico passi per $i$ punti di coordinate $(0,1)$ e $(\pi, 3)$.
b. Scrivi l'equazione della retta tangente al suo grafico nel punto di ascissa $\frac{\pi}{2}$.
c. Determina il minimo valore positivo di $a$ tale che la funzione soddisfi le ipotesi del teorema di Rolle nell'intervallo $\left[\frac{3 \pi}{2}, a\right]$. In corrispondenza di tale valore di $a$, determina il punto $c$ di cui il teorema garantisce l'esistenza.
d. Calcola $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 f(x)-2+3 x^2}{x^4}$.
$[$ a. $a=2, b=-1 ;$
b. $y=x-\frac{\pi}{2}$
c. $a=\frac{5}{3} \pi, c=2 \pi-\arccos \frac{1}{4} ;$ d. $\left.\frac{5}{4}\right]$
