[Risolto] TEOREMI SULLE FUNZIONI DERIVABILI.

$ f(x) = e^x(e^x-a-1)$

$ f'(x) = e^x(2e^x-a-1)$

$ f^{(2)}(x) = e^x(4e^x-a-1)$

a.

$ f'(x) = e^x(2e^x-a-1)$

Per essere un punto di estremo relativo la derivata prima deve essere nulla

$ e^x(2e^x-a-1) = 0$

con ascissa x = 0

$ 2-a-1=0}

a = 1

b. 

Imponiamo il flesso. 

$ f^{(2)}(x) = e^x(4e^x-a-1) = 0$

dalla quale ricaviamo

$a+1 = 4e^x$

Imponiamo l'ordinata eguale a -3

$ f(x) = -3$

$ e^x(e^x-(a+1)) = -3$

Sostituiamo il valore di a + 1 ricavato precedentemente

$ e^x(e^x - 4e^x) = -3$ 

$ -3e^{2x} = -3 \quad \implies \quad x = 0$

Ritornando alla funzione

$f(0) = (1-a-1) = -3  \quad \implies \quad a = 3$

c.  

Per a = -3 la funzione diventa

$ f(x) = e^x(e^x + 2)$

la cui derivata

$ f'(x) = 2e^x(e^x+1)$

La derivata è positiva per ogni valore di x quindi la funzione è strettamente crescente ovvero la funzione f(x): ℝ → ℝ⁺ è iniettiva e surgettiva, ovvero bigettiva quindi invertibile.

Per l'inversa usiamo la tecnica dei tre passi

1. Riscriviamo la funzione nella forma $y = e^x(e^x + 2)$
2. Scambiamo tra loro le variabili. $ x = e^{2y} + 2e^y $ 
3. Risolviamo in y. 

Si tratta di una equazione di 2° grado in $e^y$; ($e^{2y} + 2e^y - 3=0$) le cui due soluzioni sono

$ e^y = -1 \pm \sqrt{1+x}$

Scartiamo la soluzione negativa, rimane

$ e^y = -1 + \sqrt{1+x}$

 Applichiamo il logaritmo

$ y = ln(\sqrt{1+x} -1$