$ f(x) = e^x(e^x-a-1)$
$ f'(x) = e^x(2e^x-a-1)$
$ f^{(2)}(x) = e^x(4e^x-a-1)$
a.
$ f'(x) = e^x(2e^x-a-1)$
Per essere un punto di estremo relativo la derivata prima deve essere nulla
$ e^x(2e^x-a-1) = 0$
con ascissa x = 0
$ 2-a-1=0}
a = 1
b.
Imponiamo il flesso.
$ f^{(2)}(x) = e^x(4e^x-a-1) = 0$
dalla quale ricaviamo
$a+1 = 4e^x$
Imponiamo l'ordinata eguale a -3
$ f(x) = -3$
$ e^x(e^x-(a+1)) = -3$
Sostituiamo il valore di a + 1 ricavato precedentemente
$ e^x(e^x - 4e^x) = -3$
$ -3e^{2x} = -3 \quad \implies \quad x = 0$
Ritornando alla funzione
$f(0) = (1-a-1) = -3 \quad \implies \quad a = 3$
c.
Per a = -3 la funzione diventa
$ f(x) = e^x(e^x + 2)$
la cui derivata
$ f'(x) = 2e^x(e^x+1)$
La derivata è positiva per ogni valore di x quindi la funzione è strettamente crescente ovvero la funzione f(x): ℝ → ℝ⁺ è iniettiva e surgettiva, ovvero bigettiva quindi invertibile.
Per l'inversa usiamo la tecnica dei tre passi
- Riscriviamo la funzione nella forma $y = e^x(e^x + 2)$
- Scambiamo tra loro le variabili. $ x = e^{2y} + 2e^y $
- Risolviamo in y.
Si tratta di una equazione di 2° grado in $e^y$; ($e^{2y} + 2e^y - 3=0$) le cui due soluzioni sono
$ e^y = -1 \pm \sqrt{1+x}$
Scartiamo la soluzione negativa, rimane
$ e^y = -1 + \sqrt{1+x}$
Applichiamo il logaritmo
$ y = ln(\sqrt{1+x} -1$