[Risolto] TEOREMI SULLE FUNZIONI DERIVABILI.

a.  

La funzione f(x) è del tipo razionale fratta, quindi continua e derivabile laddove definita.

Per essere definita in tutto ℝ è necessario che il denominatore non si annulli

$ x^2 + ax + b \ne 0$ in altre parole, il suo discriminante Δ deve essere minore di zero

$ a^2 - 4b \lt 0$

b.

Asintoto verticale per x = 1. Significa che 1 è una radice del trinomio al denominatore.

La radici sono date dalla formula risolutiva

$ x = \frac {-a \pm \sqrt{a^2-4b}}{2}$

$ 2+a = \pm \sqrt{a^2-4b} $

quadrando 

$ 4+4a+a^2 = a^2-4b$

$ b = 1+a$          (1)

Consideriamo il dato dell'estremo relativo per x = 2. tale punto è un punto stazionario, calcoliamo la derivata prima e imponiamo la stazionarietà per x = 2

• $f'(x) = -\frac{a+2x}{(x(a+x)+b)^2}$
• $ f'(2) = 0 \quad \implies \quad a+2*2 = 0 \quad \implies \quad a = -4$
• dalla (1) segue che b = 3

La nostra funzione f(x) è così

• $ f(x) = \frac{1}{x^2-4x+3}$
• il suo dominio è Dominio = (-∞, 1) U (1, 3) U (3, +∞)
• e la sua derivata $ f'(x) = \frac{2(2-x)}{(x^2-4x+3)^2}$

c.  retta tangente r:

• intersezione f(x) asse delle y (cioè x = 0). $f(0) = \frac{1}{3}$
• Punto di intersezione T(0, 1/3}
• $f'(0) = \frac{4}{9}$
• La retta r: passa per T e ha coefficiente angolare $m = f'(0) = \frac{4}{9}$ per cui

$r:  y = \frac{4x}{9} + \frac{1}{3}$

d.  

Studiamo il segno della derivata f'(x). Osserviamo che il denominatore è positivo per tutte le x appartenenti al dominio quindi il segno della f'(x) sarà eguale al segno (2-x).

____1______2_______3_____  

.......X........................X.........   Dominio

+++++++++0------------------   (2-x)

+++X+++++0---------X-------    f'(x)

.↗..X..↗.. = ..↘..X..↘...      f(x)

f(x) è strettamente decrescente in (2, 3) e in (3, +∞)

e. 

⊳ In [0,4] la funzione è discontinua (vi sono due asintoti verticali) Rolle non è applicabile.

⊳ In [3/2, 5/2] 

osserviamo che f(3/2) = f(5/2) = - 4/3

Si,  sono soddisfatte tutte le ipotesi di Rolle.