Teoremi di Euclide e Pitagora. Potreste risolverlo grazie.

In ogni triangolo rettangolo di angoli 30°, 60° e 90° (che la metà di un triangolo equilatero) il cateto che si oppone all'angolo di 30° è la metà dell'ipotenusa mentre il cateto che si oppone all'angolo di 60° è la metà dell'ipotenusa × radice di 3.

Osservando il triangolo rettangolo abbiamo che:

L'angolo in ^B è 30°  l'angolo C^AH é 30° e l'angolo B^AH è 60°. Pertanto, con l'altezza AH abbiamo tre triangoli rettangol di angoli 30°, 60° e 90° (ABC  ABH e ACH)  per cui possiamo scrivere:

AH=AB/2 da cui AB=2×AH = 2×10 = 20 cm

AB=BC/2×sqrt(3) da cui BC=2×AB/sqrt(3) = 2×20/sqrt(3) = 40/sqrt(3)=23,09 cm

AC=BC/2=1/2×40/sqrt(3) = 20/sqrt(3) 11,55 cm

BH=AB/2×sqrt(3) = 20/2×sqrt(3) = 10×sqrt(3) = 17,32 cm

AC = ipotenusa del triangolo AHC con gli angoli acuti 30° e  60°

cateto CH = AC/2; perché opposto all'angolo di 30°

Pitagora:

AC^2 = CH^2 + 10^2;

AC^2 = (AC/2)^2 + 100;

AC^2 - AC^2 / 4 = 100;

3/4  AC^2 = 100;

AC^2 = 100 * 4/3;

AC = radice(100 * 4/3) = 10 * 2 / radice(3) = 20 / radice(3);

a)  AC = 20 / 1,732 = 11,55 cm.

d) BH con il secondo teorema di Euclide:

CH = AC/2 = 11,55/2 = 5,78 cm

CH : AH = AH : BH;;

5,78 : 10 = 10 : BH;

BH = 100 / 5,78 = 17,32 cm;

c)  BC = CH + BH = 5,78 + 17,32 = 23 cm (circa); ipotenusa del triangolo ABC;

b) cateto AB con Pitagora nel triangolo ABC:

AB = radicequadrata(BC^2 - AC^2 );

AB = radice(23^2 - 11,55^2) = 20 cm.

Ciao  @raffaele30

AB = 2AH = 20 cm (ABH = metà triangolo equilatero)

BH = √AB^2-AH^2 = √300 = 10√3 cm 

AC = 10/(√3 /2) = 20/√3 = 20√3 /3  cm (ACH = metà triangolo equilatero)

CH = √AC^2-AH^2 = √400/3-300/3 = √100/3 = 10√3 /3 cm 

BC = CH+BH = 10√3(1+1/3) = 40√3 /3 cm 

Per i Teoremi trigonometrici sui triangoli rettangoli:

\[AC = \frac{AH}{\sin{60°}} = \frac{20}{\sqrt{3}} \approx 11,55\:cm\]

\[AB = \frac{AH}{\sin{(180° - 90° - 60°)}} = 20\:cm\]

\[BC = \frac{AB}{\cos{30°}} \approx 23,09\:cm\]

\[BH = AB \cdot \cos{30°} \approx 17,32\:cm\]

\[CH = AC \cdot \cos{60°} \approx 5,77\:cm\,.\]

Osservando la figura vedo tre triangoli rettangoli (ABC rettangolo in A, ABH e ACH entrambi rettangoli in H) tutt'e tre con un angolo interno di 60° e quindi metà di un triangolo equilatero.
Il generico triangolo rettangolo metà del triangolo equilatero di lato L ha
* ipotenusa L
* cateto minore L/2
* cateto maggiore (√3/2)*L
e queste due relazioni fra cateti e ipotenusa, applicate ai triangoli della figura tenendo conto del dato |AH| = 10 cm, consentono di calcolare le misure di ogni altro segmento.
Triangolo ACH
* cateto maggiore |AH| = (√3/2)*L = 10 cm ≡ L = 20/√3 cm
* ipotenusa |AC| = L = 20/√3 cm
* cateto minore |CH| = L/2 = 10/√3 cm
Triangolo ABC
* cateto minore |AC| = L/2 = 20/√3 cm ≡ L = 40/√3 cm
* ipotenusa |BC| = L = 40/√3 cm
* cateto maggiore |AB| = (√3/2)*40/√3 = 20 cm
Triangolo ABH
* ipotenusa |AB| = L = 20 cm
* cateto minore |AH| = L/2 = 10 cm
* cateto maggiore |BH| = (√3/2)*20 = 10*√3 cm
Sinossi (in cm)
|AB| = 20
|AC| = 20/√3
|AH| = 10
|BC| = 40/√3
|BH| = 10*√3
|CH| = 10/√3