[Risolto] TEOREMA DI ROLLE

Problema:

Stabilisci se alla seguente funzione è applicabile il teorema di Rolle nell'intervallo indicato e, in caso affermativo determina i punti c di cui il teorema garantisce l'esistenza.

$f(x)$={$2x²+x+1, x≤0 ; 2^x, x>0$}, [-1,1]

Soluzione:

Il teorema di Rolle afferma che se la funzione f è continua in [a,b] e derivabile in (a,b) tale che $f(a)=f(b)$, allora esiste almeno un punto $c\in(a,b)$ tale che $f'(c)=0$.

Nel caso in questone si ha che [a,b]=[-1,1], quindi è necessario verificare che la funzione sia continua in questo intervallo e derivabile nel medesimo intervallo aperto.

$f(x)$ è continua per $\forall x \in \mathbb{R}$ poiché formata da una polinomiale ed una esponenziale tale che $\lim_{x \rightarrow 0^+}f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^-}f(x)$ , ma la sua derivata $f'(x)$ ={$4x+1, x<0 ; 2^x \ln 2, x>0$} non è continua in $\mathbb{R}$ dato che

$f'_{0^-}(x)=1$ 

$f'_{0^+}(x)=\ln 2$,

dunque il teorema di Rolle non è applicabile.