[Risolto] TEOREMA DI ROLLE

Problema:

Stabilisci se alla seguente funzione è applicabile il teorema di Rolle nell'intervallo indicato e, in caso affermativo determina i punti c di cui il teorema garantisce l'esistenza.

$f(x)=2^{-2x}-5\times 2^{-x} +4$, [-2,0]

Soluzione:

Il teorema di Rolle afferma che se la funzione f è continua in [a,b] e derivabile in (a,b) tale che $f(a)=f(b)$, allora esiste almeno un punto $c\in(a,b)$ tale che $f'(c)=0$.

Nel caso in questone si ha che [a,b]=[-2,0], quindi è necessario verificare che la funzione sia continua in questo intervallo e derivabile nel medesimo intervallo aperto.

$f(x)$ è continua per $\forall x \in \mathbb{R}$ poiché esponenziale, anche la sua derivata $f'(x)=\frac{\ln 2(5-2^{-x+1})}{2^x}$ è continua in $\mathbb{R}$ per il medesimo motivo. 

Ora è necessario verificare che $f(a)=f(b)$:

$f(-2)=0, f(0)=0$. Il teorema di Rolle è dunque applicabile alla funzione data ed esiste un punto $c$ appartenente all'intervallo tale che $f'(c)=0$:

$f'(x)=\frac{\ln 2(5-2^{-x+1})}{2^x}=0$

$x=\frac{\ln 2 - \ln 5}{\ln 2}$.