[Risolto] TEOREMA DI ROLLE

a.   

La funzione f(x) è definita come 

$\begin{aligned} f\colon [e^{-1}, \, e^3] &\to \mathbb{R}\\ x &\mapsto ln^2(x) - 2ln(x) \end{aligned}$

Essa è continua e derivabile nell'intervallo dov'è definita essendo somma e composizione di funzioni elementari continue e derivabili in ℝ⁺.

Inoltre:

• $f(e^{-1}) = -1*(-1) - 2(-1) = 3; \quad $  nota: $ln(e^{-1}) = -ln(e) = -1$
• $f(e^3) = 3$

quindi la funzione assume lo stesso valore agli estremi.

Le ipotesi del teorema di Rolle sono soddisfatte.

Quindi, per la tesi esiste almeno un punto $c  \in (e^{-1}, \, e^3)$ dove la derivata si annulla.

.

b.  Determiniamo le coordinate dei punti c.

Troviamo le coordinate dei punti stazionari, cioè i punti dove la derivata è nulla. 

• Derivata prima. $f'(x) = 2\frac{ln(x)}{x} - \frac{2}{x} = 2\frac{ln(x)-1}{x} $

nota. Abbiamo usato la regola della derivazione di funzioni composte (Chain rule)

• Punti in cui si annulla f'(x)

$ f'(c) = 0$

$ln(c) - 1 = 0$

$ c = e $

ne consegue che il punto c è unico.