STUDIO DI FUNZIONE

$ y(x) = \frac{ln(x+1)}{(x+1)^2} $

• Dominio = (-1, +∞) ovvero x > -1.   Infatti

$ ln(x+1) \; ⇒ \; x+1 \gt 0 \; ⇒ \; x \gt -1 $   

• Segno e zeri

Osserviamo che il denominatore è positivo in tutto il dominio 

• • $y(x) = 0 \; ⇒  ln(x+1) = 0 ⇒ x = 0 $
  • $y(x) < 0 \; ⇒  ln(x+1) < 0 ⇒ -1 < x < 0 $ 
  • $y(x) > 0 \; ⇒  ln(x+1) > 0 ⇒ x > 0 $

• Intersezione con l'asse y.

Si deve calcolare y(x) nel punto x = 0.

$y(0) = \frac{ln(0+1)}{(0+1)^2} = 0 $

• Asintoti.
  • Verticali. Il logaritmo ha un asintoto verticale laddove si annulla l'argomento, cioè per x = -1
  • Orizzontali. Vediamo come si comporta per x→+∞

$ \displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0^+ $

Si conclude per confronto di infiniti (o con de l'Hôpital)

La funzione ammette un asintoto orizzontale destro di equazione y = 0.

• Info sul piano cartesiano