Stabilisci se alla seguente funzione è applicabile il teorema di Rolle nell'intervallo indicato e, in caso affermativo determina i punti c di cui il teorema garantisce l'esistenza.
Stabilisci se alla seguente funzione è applicabile il teorema di Rolle nell'intervallo indicato e, in caso affermativo determina i punti c di cui il teorema garantisce l'esistenza.
a.
La funzione f(x) è definita come
$\begin{aligned} f\colon [0, \,2] &\to \mathbb{R}\\ x &\mapsto \sqrt{2x-x^2} \end{aligned}$
Essa è continua e derivabile nell'intervallo dov'è definita essendo somma e composizione di funzioni elementari continue e derivabili.
Inoltre:
quindi la funzione assume lo stesso valore agli estremi dell'intervallo [0, 2]
Le ipotesi del teorema di Rolle sono soddisfatte.
Quindi, per la tesi esiste almeno un punto $c \in (0, \, 2)$ dove la derivata si annulla.
.
b. Determiniamo le coordinate dei punti c.
Troviamo le coordinate dei punti stazionari, cioè i punti dove la derivata è nulla.
nota. Abbiamo usato la regola della derivazione di funzioni composte (Chain rule)
$ f'(c) = 0$
$1- c = 0$
$ c = 1 $
dopo aver verificato che il c trovato è un elemento del dominio (1∈(0,2)) possiamo affermare che il punto c è unico.
y = √(2·x - x^2)
C.E.
2·x - x^2 ≥ 0---> 0 ≤ x ≤ 2
verifica di controllo:
y = √(2·0 - 0^2) = 0 ---> f(0)=0
y = √(2·2 - 2^2) = 0 ----> f(2)=0
Quindi c'è almeno un punto interno all'intervallo considerato per cui si ha y'=0
(1 - x)/√(2·x - x^2) =0 ---> x=1