[Risolto] TEOREMA DI ROLLE

a.   

La funzione f(x) è definita come 

$\begin{aligned} f\colon [0, \,2] &\to \mathbb{R}\\ x &\mapsto \sqrt{2x-x^2} \end{aligned}$

Essa è continua e derivabile nell'intervallo dov'è definita essendo somma e composizione di funzioni elementari continue e derivabili.

Inoltre:

• $f(0) = 0$
• $f(2) = 0$

quindi la funzione assume lo stesso valore agli estremi dell'intervallo [0, 2]

Le ipotesi del teorema di Rolle sono soddisfatte.

Quindi, per la tesi esiste almeno un punto $c  \in (0, \, 2)$ dove la derivata si annulla.

.

b.  Determiniamo le coordinate dei punti c.

Troviamo le coordinate dei punti stazionari, cioè i punti dove la derivata è nulla. 

• Derivata prima. $f'(x) = \frac{1-x}{\sqrt{x(2-x)}} $

nota. Abbiamo usato la regola della derivazione di funzioni composte (Chain rule)

• Punti in cui si annulla f'(x)

$ f'(c) = 0$

$1-  c = 0$

$ c = 1 $

dopo aver verificato che il c trovato è un elemento del dominio (1∈(0,2)) possiamo affermare che il punto c è unico.

y = √(2·x - x^2)

C.E.

2·x - x^2 ≥ 0---> 0 ≤ x ≤ 2

verifica di controllo:

y = √(2·0 - 0^2) = 0 ---> f(0)=0

y = √(2·2 - 2^2) = 0 ----> f(2)=0

Quindi c'è almeno un punto interno all'intervallo considerato per cui si ha y'=0

(1 - x)/√(2·x - x^2) =0 ---> x=1