Determina i valori dei parametri a, be c in modo che sia applicabile il teorema di Rolle alla funzione f(x) nell'intervallo indicato.
Determina i valori dei parametri a, be c in modo che sia applicabile il teorema di Rolle alla funzione f(x) nell'intervallo indicato.
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Livello 2
Il teorema di Rolle afferma che se una funzione continua e derivabile in un intervallo assume lo stesso valore agli estremi, allora c'è almeno un punto stazionario.
Dobbiamo assicurare la continuità della funzione e della sua derivata nel punto di cucitura (x = 0) delle due componenti della funzione definita a tratti:
y=
{x^2 + a·x + b per x < 0
{c·x^2 + 1 per x ≥ 0
c·0^2 + 1= 1
Quindi:
LIM(x^2 + a·x + b) = b
x---> 0-
Ne consegue che b = 1
y'=dy/dx=
{2·x + a per x < 0
{2·c·x per x ≥ 0
2·c·0 =0
Quindi:
LIM(2·x + a) = a
x--> 0-
Ne consegue che a = 0
La funzione diventa:
y=
{x^2 + 1 per x < 0
{c·x^2 + 1 per x ≥ 0
f(-1)=f(2)
f(-1)=(-1)^2 + 1 = 2
f(2)=c·2^2 + 1 = 4·c + 1
2 = 4·c + 1---> c = 1/4
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Genius II