[Risolto] TEOREMA DI ROLLE.

Osserviamo che i due tratti della funzione f(x) sono definiti, continui e derivabili. 

Per rispondere positivamente alle ipotesi del teorema di Rolle è necessario:

1. che la funzione f(x) sia continua anche per x = 1
2. che la funzione f(x) sia derivabile anche per x = 1.
3. che f(0) = f(2)

.

1. f(x) continua per x = 1.

dalla definizione di continuità della funzione nel punto x = 1, è necessario che:

$\displaystyle\lim_{x \to 1^-} (x^2+ax+b) = a+b+1$

$\displaystyle\lim_{x \to 1^+} (cx+2) = c+2$

$ f(1) = c+2$

Condizione per la continuità $ a+b = c +1$

.

2.   f(x) è derivabile in x = 1.

Per essere derivabile è necessario che la derivata sinistra sia eguale alla derivata destra.

$f'(x) = \begin{cases}2x+a &\text{se $x\lt 1$}\\ c &\text{altrimenti} \end{cases}$

Osserviamo che le derivate dei due tratti sono continue, tale proprietà verrà usata per il calcolo della valore della derivata sinistra nel punto x = 1.

$D^- f(1) = 2+a$

$ D^+ f(1) = c $ 

Quindi la funzione è derivabile in tutto l'intervallo [0, 2] se e solo se c = 2 + a.

.

3.   Valori eguali in frontiera.

f(0) = b

f(2) = 2(c+1)

sarà una corretta ipotesi per Rolle se e solo se b = 2(c+1)

.

Abbiamo trovato 3 equazioni che legano i tre parametri a, b, c. Poniamole a sistema

$\left\{\begin{aligned} a+b &= c+1 \\ c &= 2+a \\ b &= 2(c+1) \end{aligned} \right.$

Il sistema risulta possibile e determinato. La soluzione è proprio

$ a = -\frac{3}{2}; \,\, b = 3; \,\, c = \frac{1}{2}$