[Risolto] TEOREMA DI ROLLE.

I due tratti della funzione f(x) risultano continui e derivabili laddove definiti. Per soddisfare le ipotesi del teorema di Rolle è necessario che lo siano anche nel punto di raccordo x = 0.

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a. Continuità di f(x) nel punto x = 0.

• f(0) = 0
• $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0$
• $\displaystyle\lim_{x \to 0^-} f(x) = b$

Per essere continua è necessario che b sia eguale a 0. b = 0

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b.  Derivabilità nel punto x = 0.

Essendo f(x) una funzione continua in [-1, 1] e derivabile in (-1, 0) U (0, +1) per la derivabilità nel punto x = 0 è necessario che le due derivate laterali siano eguali, $D^- f(x) = D^+ f(x)$

In questo caso, non useremo la scorciatoia di notare che le derivate dei due tratti sono funzioni continue, ma calcoleremo le derivate usando la definizione di limite del rapporto incrementale. Credo che quest'ultimo sia il metodo insegnato a scuola.

• $D^+ f(x)$

$D^+ f(x) = \displaystyle\lim_{h \to 0^+} \frac {f(x+h) - f(x)}{h}$

$D^+ f(x) = \displaystyle\lim_{h \to 0^+} \frac {-x^2-2xh-h^2 +cx +ch + x^2-cx}{h}$

$D^+ f(x) = \displaystyle\lim_{h \to 0^+} \frac {h(-2x-h +c)}{h}$

$D^+ f(x) = c - 2x $

che nel punto x = 0 assume il valore

$D^+ f(0) = c$

• $D^- f(x)$

$D^- f(x) = \displaystyle\lim_{h \to 0^-} \frac {f(x+h) - f(x)}{h}$

$D^- f(x) = \displaystyle\lim_{h \to 0^-} \frac {x^2+2xh+h^2 +ax +ah - x^2-ax}{h}$

$D^- f(x) = \displaystyle\lim_{h \to 0^-} \frac {h(2x+h +a)}{h}$

$D^- f(x) = a + 2x $

che nel punto x = 0 assume il valore

$D^- f(0) = a$

La due derivate laterali saranno eguali se e solo se a = c.

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c.  Ipotesi di valori assunti agli estremi; f(-1) = f(1) 

• f(-1) = 1 - a
• f(1)  = -1 + c 

Imponiamo l'uguaglianza 

1 - a = -1 + c

ricordiamo la condizione di derivabilità c = a per cui

2a = 2

Conclusione.

a = 1;  b = 0;  c = 1.