[Risolto] TEOREMA DI ROLLE

La funzione f(x) è una funzione definita a tratti.

I due tratti risultano continui e derivabili, in sospeso abbiamo il punto di raccordo x = 0.

Verifichiamo che sia continua anche per x = 0.

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a.  f(x) è continua nel punto x = 0

⊳ f(0) = 0

⊳ $\displaystyle\lim_{x \to 0^-} -x^2-2x = 0$

⊳ $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} 2x^2-2x = 0$

La funzione f(x) è continua in [-2, 1]

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b.  f(x) è derivabile nel punto x = 0

$f'(x) = \begin{cases} -2x-2 &\text{se $x \lt 0$} \\  4x-2 &\text{se $x \gt 0$} \end {cases}$

Si tratta di dimostrare che lo è anche nel punto x = 0. Per farlo, vista la continuità della funzione per x = 0, è sufficiente provare che le due derivate laterali siano eguali. Notiamo che le funzioni derivate che compaiono in f'(x) sono funzioni continue. Le derivate laterali valgono così

⊳ $D^- f(0) = -2$

⊳ $D^+ f(0) = -2$

Conclusione f(x) è derivabile in [-2, 1]. Per Rolle è sufficiente che lo sia in (-2, 1).

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c.  f(x) assume eguali valori in frontiera.

⊳ f(-2) = 4 - 4 = 0

⊳ f(1) = 2 - 2 = 0

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Tutte le ipotesi di Rolle sono soddisfatte.

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d.  Determiniamo i punti c.

Dobbiamo verificare per quali valori di x, che indicheremo con c, la derivata prima è nulla

• per x < 0.   -2c - 2 = 0 ⇒ c = -1
• per x > 0.   4c - 2 = 0 ⇒ c = 1/2 

I due punti che verificano Rolle sono

$ c = -1 \lor c = \frac{1}{2}$ 

Nota. Una alternativa al calcolo delle derivate laterali, forse il metodo più comunemente usato, è quella di usare la definizione e quindi di calcolare il limite laterale del rapporto incrementale.