[Risolto] Teorema di Pitagora

Consideriamo il rettangolo ABCD che con la diagonale AC forma un triangolo rettangolo di cui AC è l'ipotenusa; AB cateto maggiore e BC cateto minore.

Indichiamo con x il cateto minore BC per cui possiamo scrivere:
BC = x
AB = 12 cm
AC = x+6 cm

Applicando il teorema di Pitagora al triangolo ABC posso scrivere:
AC^2 = AB^2 + BC^2
(x+6)^2 = 12^2 + x^2
x^2 + 12x + 36 = 144 + x^2
12x = 144 - 36
x=108/12 = 9 cm quindi il lato BC del rettangolo misura 9 cm
AC = x+6 =9+6=15 cm

Calcoliamo perimetro e area del rettangolo:
Perimetro = 2*(AB+BC) = 2(12+9) = 2*21 = 42 cm
Area = AB*BC =12*9 = 108 cm^2

12^2 + x^2 = (x + 6)^2

risolvi ed ottieni:

x = 9 cm altro lato rettangolo

perimetro=2·(12 + 9) = 42 cm

area=12·9 = 108 cm^2

In un rettangolo ABCD , il lato AB è lungo 12 cm e la diagonale supera di 6 cm l'altro lato. Determina perimetro e area del rettangolo.  

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Lato $AB= 12~cm$;

lato $BC= x$;

diagonale $AC= x+6$;

equazione utilizzando il teorema di Pitagora:

$(x+6)^2 -x^2 = 12^2$

$x^2+12x+36 -x^2 = 144$

$12x = 144-36$

$12x = 108$

$x= \dfrac{108}{12}$

$x= 9$

risultati:

lato $BC= x = 9~cm$;

diagonale $AC= x+6 = 9+6 = 15~cm$;

perimetro $2p= 2(12+9) = 2×21 = 42~cm$;

area $A= 12×9 = 108~cm^2$.

In un rettangolo ABCD , il lato AB è lungo b = 12 cm e la diagonale d supera di 6 cm l'altro lato h. Determina perimetro 2p e area A del rettangolo. 

12^2+h^2 = (6+h)^2

12^2+h^2 = 36+h^2+12h 

108 = 12h

h = 108/12 = 9,0 cm

perimetro 2p = 2(12+9) = 42 cm

area A = b*h = 12*9 = 108 cm^2

altezza h = b+1

base maggiore B = base minore b+7

area A = (B+b)*h/2 = 51 cm^2

B+b = 102/h

(b+7)+b = 102/(b+1)

(2b+7)(b+1) = 102

2b^2+7b+2b+7 = 102

95-9b-2b^2 = 0

b = (9-√9^2+95*8)/-4 = (9-29)/-4 = 5,0 cm 

h = b+1 = 5+1 = 6 cm

B = 5+7 = 12 cm 

lato obliquo l :

l = √h^2+((B-b)/2)^2 = √6^2+3,5^2 = √48,25 = (√193)/2 cm

perimetro 2p = B+b+2l = 12+5+√193 = 17+√193 cm

perimetro 2p = 20 cm

altezza h = 4 cm 

base maggiore B = 4*base minore b 

20 = 5b+2l

lato obliquo l = (20-5b)/2

AK = BH = (4b-b)/2 = 1,5 b 

lato obliquo l = √h^2+AK^2 = √4^2+2,25b^2

((20-5b)/2)^2 = 4^2+2,25b^2

400+25b^2-200b = 4(4^2+2,25b^2)

400-64+16b^2-200b = 0

16b^2-200b+336 = 0

2b^2-25b+42 = 0

b = (25-√25^2-42*8)/4 = (25-17)/4 = 2 cm

B = 4b = 8 cm

l = (20-(B+b))/2  = (20-10)/2 = 5 cm  

base maggiore B = 11a

base minore b = 6a

lato obliquo l = 2a√5

lato obliquo L = 5a

B-b = 11a-6a = 5a

si omette a che si aggiunge alla fine :

h^2 = L^2-AH^2

h^2 = l^2-(5-AH)^2

L^2-AH^2 = l^2-(25+AH^2-10 AH)

L^2-AH^2 = l^2-25-AH^2+10AH)

25+5 = 10AH

AH = 30/10 = 3 

BH' = 5-3 = 2

h = √L^2-AH^2 = √5^2-3^2 = 4 cm

si rimette a :

diagonale AC = a√(AH+b))^2+h^2

AC = a√9^2+4^2 = a√97

diagonale BD = a√(BH'+b))^2+h^2

BD = a√8^2+4^2 = a√80 = a√16*5 = 4a√5

area A = (B+b)*h/2 = a(11+6)*4a/2 = 34a^2

semiperimetro p = 70/2 = 35 cm = b+h

b = 4d/5

d = 1,25b

b^2+h^2 = 1,5625b^2

h^2 = 0,5625b^2

h = 0,75b

0,75b+b = 1,75b = 35 cm

b = 35/1,75 = 20,0 cm

h = 20*3/4 = 15 cm 

area A = b*h = 15*20 = 300cm^2