Teorema di Lagrange

y=

{x^2 + a·x + b  per x < 0

{e^(2·x)   per x ≥ 0

La derivata prima:

y'=

{2·x + a   per x < 0

{2·e^(2·x)    per x ≥ 0

La continuità della funzione f(x) impone che sia:

LIM(x^2 + a·x + b) = b

x--> 0-

Quindi: e^(2·0)= b------> b = 1

La continuità della derivata f'(x) impone che sia:

LIM(2·x + a) = a

x---> 0-

Quindi: 2·e^(2·0) = a----> a = 2

Abbiamo quindi una funzione definita a tratti continua insieme alla sua derivata su tutto R in particolare lo risulta essere nell'intervallo considerato. Quindi è soddisfatto il teorema di Lagrange.

y =

{x^2 + x + 2  per  x< 0

{e^(2·x)  per x ≥ 0

continua con y' in -1 ≤ x ≤ 2

Gli estremi sono:

[-1, 0]

[2, e^4]

Il segmento congiungente tali estremi ha coefficiente angolare:

m = (e^4 - 0)/(2 + 1)----> m = e^4/3

Quindi bisogna porre:

2·e^(2·x) = e^4/3----> x = 2 - LN(6)/2