Teorema di Lagrange

$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2+ax+b& -1\le x<0\\ 2x+1& 0\le x\le 1\end{array}$

Per applicare Lagrangia è necessario che f(x) sia continua in [-1, 1] e derivabile in (-1, 1). 

a.   Continuità in [-1, 1].

I due tratti sono continui (funzioni razionali intere), Rimane da verificare che lo sia anche nel punto di raccordo.

• Continuità f(x) in x = 0. 
  • • ${\displaystyle \underset{x\to 0^{-}}{lim}f(x)=b}$
    • $ f(0) = 1

quindi, per essere continua deve valere  b = 1

b.   Derivabilità in (-1, 1).

I due tratti sono derivabili (funzioni razionali intere), Rimane da verificare che lo sia anche nel punto di raccordo, cioè che le due derivate laterali siano eguali. Calcoliamo la funzione derivata sui due tratti

$f^{\prime }(x)=\{\begin{array}{ll}2x+a& -1\le x<0\\ 2& 0\le x\le 1\end{array}$

• Derivabilità f(x) in x = 0. 
  • • $D^{-}(0)=a$
    • $D^{+}(0)=2$

quindi,  per essere derivabile deve valere   a = 2

La funzione f(x) è così

$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2+2x+1& \le x<0\\ 2x+1& 0\le x\le 1\end{array}$

Soddisfatte tutte le ipotesi, possiamo applicare Lagrangia. Cioè esiste un c∈(-1, 1) tale che

$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime }(c)$

Supponiamo che c sia nel primo tratto (se così no fosse proveremo con il secondo)

$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime }(c)$

$\frac{2+2-1}{2}=2x+2$

$\frac{3}{2}=2c+2$

$c=-\frac{1}{4}$