Teorema di lagrange

Per applicare il teorema di Lagrange è necessario che:

• f(x) sia continua in [-2, 3]
• f(x) derivabile in (-2, 3)

dai teoremi dell'algebra delle funzioni continue possiamo affermare che

• nel primo tratto f(x) è continua in [-2, 1]
• nel secondo in (1, 3]
• l'unico punto potenzialmente discontinuo è x = 1. 

Imponiamo che lo sia. Dalla definizione di continuità segue che deve essere

$ f(1) =  \displaystyle\lim_{x \to 1^-} f(x) = \displaystyle\lim_{x \to 1^+} f(x)  $

La prima uguaglianza è verificata dalla continuità del primo tratto, rimane da verificare

$ f(1) =  a + 2 $

$ \displaystyle\lim_{x \to 1^+} f(x) = b \cdot ln(1) + (2a+1) = 2a+1 $

Imponiamo l'uguaglianza 

$ a + 2 = 2a + 1 \; ⇒ \; a = 1 $

La funzione f(x) si riduce alla forma

$ f(x) = \begin{cases} 1+\sqrt{x^2+3} & \text { se  x ≤ 1 } \\ b \cdot ln(x) + 3x & \text{ se x > 1} \end{cases} $

dall'algebra delle funzioni derivabili segue che f(x) è derivabile nei due tratti (-2, 1) e (1, 3) occorre però che lo sia anche nel punto x=1.

Esiste un teorema che afferma che data una funzione continua, se le derivate laterali sono eguali in un punto allora la funzione è derivabile e la derivata è eguale alle derivate laterali.

Per calcolare le derivate laterali possiamo applicare la definizione o più semplicemente notare che le due derivate sono funzioni continue e quindi eseguire due semplici limiti. Indicherò la derivata con il simbolo D.

• se x ≤ 1 allora $ Df(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} $ per cui $D^- f(1) = \frac{1}{2} $
• se x > 1 allora $ Df(x) = \frac{b}{x} + 3 $ per cui $D^+ f(1) = b+3 = \frac{1}{2} \; ⇒ \; b = -\frac{5}{2} $ 

La funzione è così

$ f(x) = \begin{cases} 1+\sqrt{x^2+3} & \text { se  x ≤ 1 } \\ -\frac{5}{2} \cdot ln(x) + 3x & \text{ se x > 1} \end{cases} $ 

Conclusione. $a = 1 ∧ b = -\frac{5}{2}$