Teorema di lagrange

Per applicare il teorema di Lagrange è necessario che:

• f(x) sia continua in [-2, 3]
• f(x) derivabile in (-2, 3)

dai teoremi dell'algebra delle funzioni continue possiamo affermare che

• nel primo tratto f(x) è continua in [-2, 1]
• nel secondo in (1, 3]
• l'unico punto potenzialmente discontinuo è x = 1. 

Imponiamo che lo sia. Dalla definizione di continuità segue che deve essere

$f(1)={\displaystyle \underset{x\to 1^{-}}{lim}f(x)={\displaystyle \underset{x\to 1^{+}}{lim}f(x)}}$

La prima uguaglianza è verificata dalla continuità del primo tratto, rimane da verificare

$f(1)=a+2$

${\displaystyle \underset{x\to 1^{+}}{lim}f(x)=b\cdot ln(1)+(2a+1)=2a+1}$

Imponiamo l'uguaglianza 

$a+2=2a+1\Rightarrow a=1$

La funzione f(x) si riduce alla forma

$f(x)=\{\begin{array}{ll}1+\sqrt{x^2+3}& \text{ se x ≤ 1 }\\ b\cdot ln(x)+3x& \text{ se x > 1}\end{array}$

dall'algebra delle funzioni derivabili segue che f(x) è derivabile nei due tratti (-2, 1) e (1, 3) occorre però che lo sia anche nel punto x=1.

Esiste un teorema che afferma che data una funzione continua, se le derivate laterali sono eguali in un punto allora la funzione è derivabile e la derivata è eguale alle derivate laterali.

Per calcolare le derivate laterali possiamo applicare la definizione o più semplicemente notare che le due derivate sono funzioni continue e quindi eseguire due semplici limiti. Indicherò la derivata con il simbolo D.

• se x ≤ 1 allora $Df(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$ per cui $D^{-}f(1)=\frac{1}{2}$
• se x > 1 allora $Df(x)=\frac{b}{x}+3$ per cui $D^{+}f(1)=b+3=\frac{1}{2}\Rightarrow b=-\frac{5}{2}$ 

La funzione è così

$f(x)=\{\begin{array}{ll}1+\sqrt{x^2+3}& \text{ se x ≤ 1 }\\ -\frac{5}{2}\cdot ln(x)+3x& \text{ se x > 1}\end{array}$ 

Conclusione. $a=1\wedge b=-\frac{5}{2}$