[Risolto] TEOREMA DI LAGRANGE.

Problema:

Si trovi il valore che assume $x=c$, applicando il teorema di Lagrange, con le seguenti condizioni:

$f(x)=tg x$, $[-\frac{π}{4},\frac{π}{4}]$

Soluzione: 

Il teorema di Lagrange asserisce che se una funzione $f$ è continua in [a,b] e derivabile in (a,b), allora esiste almeno un punto $c\in (a,b)$ tale che $f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$. Nel caso in questione si ha che l'intervallo [a,b] corrisponde a $[-\frac{π}{4},\frac{π}{4}]$.

Dato che la funzione $f(x)=\tg x$ risulta continua in $\mathbb{R}$-{$\frac{π}{2}+kπ$}, con $k\in\mathbb{Z}$, di consegunza anche continua nell'intervallo $[-\frac{π}{4},\frac{π}{4}]$, e la sua derivata $f'(x)=\sec² x$ in $\mathbb{R}$-$\frac{π}{2}+kπ$}, con $k\in\mathbb{Z}$, dunque anch'essa è continua in $[-\frac{π}{4},\frac{π}{4}]$, è possibile applicare il teorema di Lagrange per determinare il valore di $c$:

$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{1+1}{\frac{π}{4}+\frac{π}{4}}=\frac{4}{π}$

$\frac{1}{\cos² c}=\frac{4}{π}$

$π=4\cos² c$

$\cos c= \sqrt{\frac{π}{4}}$

$c=±arcos \frac{\sqrt{π}}{2}$.