@alby Giuseppe Luigi Lagrangia, naturalizzato in seguito Joseph-Louis Lagrange (Torino, 25 gennaio 1736 – Parigi, 10 aprile 1813), è stato un matematico e astronomo italiano naturalizzato francese attivo, nella sua maturità scientifica, per ventuno anni a Berlino e per ventisei a Parigi.
Il valore di c è lo stesso che viene indicato nella risposta. E' sufficiente operare la razionalizzazione del denominatore per ottenere la soluzione scritta nel modo indicato dal libro
Verifichiamo se le ipotesi del teorema di Lagrange sono soddisfatte:
i) f(x) è definita in un compatto. ([-1, 0] è un intervallo chiuso e limitato)
ii) f(x) è continua in [-1, 0]. OK.
iii) f(x) è derivabile in (-1,0). OK.
Allora
esiste un punto c∈(-1, 0) tale che
$ \frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f'(c)$
determiniamo il punto c.
$-) f(b) = f(0) = 0$
$-) f(a) = f(-1) = -2$
$-) f'(x) = \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} - 1$
applicando il teorema
$ 2 = \frac{1}{\sqrt[3]{c^2}} - 1$
$ 3 = \frac{1}{\sqrt[3]{c^2}} $
$ \sqrt[3]{c^2} = \frac{1}{3}$
$ c^2 = \frac{1}{27}$
$ c = \pm \frac{\sqrt{3}}{9}$
scartiamo la soluzione positiva essendo fuori dominio [-1,0].
$ c = -\frac{\sqrt{3}}{9} \in (-1, 0) $