TEOREMA DI LAGRANGE.

Il valore di c è lo stesso che viene indicato nella risposta. E' sufficiente operare la razionalizzazione del denominatore per ottenere la soluzione scritta nel modo indicato dal libro

Verifichiamo se le ipotesi del teorema di Lagrange sono soddisfatte:

i) f(x) è definita in un compatto.   ([-1, 0] è un intervallo chiuso e limitato)

ii) f(x) è continua in [-1, 0]. OK. 

iii) f(x) è derivabile in (-1,0). OK. 

Allora

esiste un punto c∈(-1, 0) tale che

$ \frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f'(c)$

determiniamo il punto c.

$-) f(b) = f(0) = 0$

$-) f(a) = f(-1) = -2$

$-) f'(x) = \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} - 1$

applicando il teorema

$ 2 = \frac{1}{\sqrt[3]{c^2}} - 1$

$ 3 = \frac{1}{\sqrt[3]{c^2}} $

$ \sqrt[3]{c^2} = \frac{1}{3}$

$ c^2 = \frac{1}{27}$

$ c = \pm \frac{\sqrt{3}}{9}$

scartiamo la soluzione positiva essendo fuori dominio [-1,0].

$ c = -\frac{\sqrt{3}}{9} \in (-1, 0) $