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TEOREMA DI LAGRANGE.

Verifichiamo se le ipotesi del teorema di Lagrange sono soddisfatte:

i) f(x) è definita in un compatto. ([0, 1] è un intervallo chiuso e limitato)

ii) f(x) è continua in [0, 1]. OK. (f(x) è somma, composizione di funzioni elementari continue)

iii) f(x) è derivabile in (0,1). OK. (f(x) è derivabile in (0,1])

Allora

esiste un punto c∈(0, 1) tale che

$ \frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f'(c)$

determiniamo il punto c.

$-) f(b) = f(1) = 1$

$-) f(a) = f(0) = 0$

$-) f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} - 1$

applicando il teorema

$ \frac{1}{1} = \frac{1}{\sqrt{c}} - 1$

$ 2 = \frac{1}{\sqrt{c}} $

$ \sqrt{c} = \frac{1}{2}$

$ c = \frac{1}{4}$

$ c = \frac{1}{4} \in (0, 1) $