[Risolto] Teorema di Euclide

2° teorema di Euclide:

l'altezza relativa all'ipotenusa è media proporzionale fra le due proiezioni dei cateti.

AH : h = h : HB;

h^2 = AH * HB;

h = radice(128 * 72) = radice(9216) = 96 dm;

ipotenusa = 128 + 72 = 200 dm;

Cateto AC ;

AC = radice(128^2 + 96^2) = 160 dm;

Cateto BC:

BC = radice(72^2 + 96^2) = 120 dm;

Perimetro triangolo = 120 + 160 + 200 = 480 dm;

Lato quadrato isoperimetrico al triangolo:

L = 480 / 4 = 120 dm;

Area quadrato = L^2 = 120^2 = 14400 dm^2.

ciao  @nadya

In un triangolo rettangolo ABC le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa misurano rispettivamente AH = 72 dm e BH 128 dm. Calcola l'area del quadrato isoperimetrico al triangolo.

ipotenusa AB = 72+128 = 200 dm 

cateto AC = √AB*AH = 10√2*72 = 10*12 = 120  dm

cateto BC = √AB*BH = 10√2*128 = 10*16 = 160  dm

perimetro 2p = 200+280 = 480 dm

area quadrato A = (480/4)^2 = (10*12)^2 = 14.400 dm^2 = 144 m^2

Ipotenusa ip= 72+128 = 200 dm;

per calcolare i due cateti applica il primo teorema di Euclide come segue:

cateto minore c= √(72×200) = 120 dm;

cateto maggiore C= √(128×200) = 160 dm;

quindi:

perimetro del triangolo rettangolo 2p= 200+120+160 = 480 dm.

Quadrato isoperimetrico al triangolo (uguale perimetro):

lato l= 480/4 = 120 dm;

area A= 120² = 14400 dm².

Applico il primo teorema di Euclide per trovare i cateti AC e BC:

AC^2= AE*AB=AE* (AE+EB)

AC= sqrt(72*200)=sqrt(14400)=120 dm

BC^2=EB*AB

BC=sqrt(128*200)=sqrt(25600)=160 dm

Verifico con Pitagora:

AC^2+BC^2=AB^2
120^2+160^2=40000

AB^2=200^2=40000 ok!
perimetro=120+160+200= 480 dm perimetro quadrato

lato quadrato =480/4= 120 dm

area quadrato= 120^2=14400dm^2

Unità di misura: lunghezza, dm; superficie, dm^2.
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L'area A del quadrato isoperimetrico al triangolo di perimetro p è
* A = (p/4)^2
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Il perimetro p di un triangolo rettangolo con lati
* 0 < a <= b < c = √(a^2 + b^2)
è
* p = a + b + √(a^2 + b^2)
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Detta s la proiezione di a, e t quella di b si ha
* s + t = c (definizione)
* a^2 = s*c; b^2 = t*c (primo teorema di Euclide)
da cui
* a = √(s*c); b = √(t*c)
* p = √(s*c) + √(t*c) + √(s*c + t*c)
ovvero
* a = √(s*(s + t)); b = √(t*(s + t))
* p = √(s*(s + t)) + √(t*(s + t)) + √(s*(s + t) + t*(s + t))
e infine
* A = (p/4)^2 = (√(s*(s + t)) + √(t*(s + t)) + s + t)^2/16
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Con
* s = 72; t = 128
si ha
* A = (√(72*(72 + 128)) + √(128*(72 + 128)) + 72 + 128)^2/16 = 14400 dm^2.