teorema di euclide

{x + y = 125  (125cm misura ipotenusa)

{x - y = 35

risolvo: [x = 80 cm ∧ y = 45 cm]

2° teorema di Euclide:

h =  altezza relativa ipotenusa= √(80·45)

h = 60 cm

Α = 1/2·125·60---> Α = 3750 cm^2

Per risolvere questo problema, dobbiamo ricavare le lunghezze dei cateti del triangolo rettangolo e poi calcolare l'area del triangolo stesso.

Passo 1: Definizioni e Dati

In un triangolo rettangolo, le **proiezioni** dei cateti \(a\) e \(b\) sull'ipotenusa \(c\) sono i segmenti \(p_a\) e \(p_b\), che sono le proiezioni ortogonali di \(a\) e \(b\) lungo l'ipotenusa. Le proiezioni soddisfano le seguenti relazioni:

1. La  somma  delle proiezioni è:
$$ p_a + p_b = 125 \, \text{cm} $$

2. La  differenza  delle proiezioni è:
$$ p_a - p_b = 35 \, \text{cm} $$

Passo 2: Risoluzione del sistema di equazioni

Abbiamo un sistema di due equazioni lineari che coinvolgono \(p_a\) e \(p_b\):

$$
p_a + p_b = 125
$$
$$
p_a - p_b = 35
$$

Sommiamo le due equazioni:

$$
(p_a + p_b) + (p_a - p_b) = 125 + 35
$$
$$
2p_a = 160
$$
$$
p_a = 80 \, \text{cm}
$$

Ora sottraiamo la seconda equazione dalla prima:

$$
(p_a + p_b) - (p_a - p_b) = 125 - 35
$$
$$
2p_b = 90
$$
$$
p_b = 45 \, \text{cm}
$$

Quindi, le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa sono:
- \( p_a = 80 \, \text{cm} \)
- \( p_b = 45 \, \text{cm} \)

Passo 3: Calcolo dell'ipotenusa \(c\)

La lunghezza dell'ipotenusa può essere calcolata usando la proprietà del triangolo rettangolo secondo cui:

$$
p_a + p_b = c
$$

Quindi:

$$
c = 125 \, \text{cm}
$$

Passo 4: Area del triangolo rettangolo

L'area \(A\) di un triangolo rettangolo è data da:

$$
A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b
$$

Possiamo usare la relazione tra le proiezioni e i cateti, ovvero:

$$
p_a = \frac{a^2}{c} \quad \text{e} \quad p_b = \frac{b^2}{c}
$$

Riscriviamo queste due equazioni per trovare \(a\) e \(b\):

1. \( a = \sqrt{p_a \cdot c} = \sqrt{80 \cdot 125} = \sqrt{10000} = 100 \, \text{cm} \)
2. \( b = \sqrt{p_b \cdot c} = \sqrt{45 \cdot 125} = \sqrt{5625} = 75 \, \text{cm} \)

Passo 5: Calcolo dell'area

Ora possiamo calcolare l'area:

$$
A = \frac{1}{2} \cdot 100 \cdot 75 = \frac{1}{2} \cdot 7500 = 3750 \, \text{cm}^2
$$

Risultato:

L'area del triangolo rettangolo è  3750 cm² .

p1=(125-35)/2=45    p2=(125+35)/2=80

h=V 80*45=60      A=60*(45+80)/2=3750cm2

In un triangolo rettangolo la somma e la differenza delle due proiezioni sui cateti sull'ipotenusa misurano rispettivamente 125 cm e 35 cm, calcola l'area del triangolo rettangolo.

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Somma e differenza tra due valori, quindi un modo per calcolare è il seguente:

proiezione del cateto maggiore $p_1= \dfrac{125+35}{2} = \dfrac{160}{2} = 80\,cm;$

proiezione del cateto minore $p_2= \dfrac{125-35}{2} = \dfrac{90}{2} = 45\,cm;$

ipotenusa $ip= p_1+p_2= 80+45 = 125\,cm;$

altezza relativa all'ipotenusa $h= \sqrt{p_1×p_2} = \sqrt{80×45}= \sqrt{3600}=60\,cm;$ $^{(1)}$

area $A= \dfrac{ip×h}{2} = \dfrac{125×\cancel{60}^{30}}{\cancel2_1} = 125×30 = 3750\,cm^2.$

Note:

$^{(1)}$ _ Dal 2° teorema di Euclide che recita: <<In un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull'altezza relativa all'ipotenusa è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni le proiezioni dei cateti su essa>>.