[Risolto] TEOREMA DI DE L'HOPITAL.

Il limite per x---> 0 della funzione:

(x - TAN(x))/x^3 ha forma indeterminata (0/0)

Quindi applichiamo la regola di De L'Hopital e deriviamo sia il numeratore che il denominatore per sciogliere l'indeterminazione

N'(x) = 1 - 1/COS(x)^2 ; D'(x)=3·x^2

Per x--> 0 abbiamo ancora forma indeterminata (0/0)

Deriviamo ancora:

N''(x)= - 2·SIN(x)/COS(x)^3

D''(x)= 6·x

Il rapporto:(- 2·SIN(x)/COS(x)^3)/(6·x) fornisce :

LIM((- 2·SIN(x)/COS(x)^3)/(6·x)) = -1/3

x---> 0

in quanto vale il limite notevole:

LIM(SIN(x)/x) = 1

x--->0

Forma indeterminata di tipo 0/0. Visto che anche le altre ipotesi sono soddisfatte possiamo applicare de l'Hôpital.

$\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac {1 - 1- tan^2(x)}{3x^2} = \frac{1}{3} $

Possiamo così concludere che il limite dato vale meno un terzo.