2168
punti
Livello 2
Problema:
Si risolva il seguente limite:
$\lim_{x \rightarrow 0}(\frac{e^x -1 -x}{\sin² x})$
Soluzione:
Poiché sostituendo la variabile con il valore 0 si ottiene la forma indetermina $\frac{0}{0}$ e poiché le derivate di entrambe le funzioni del numeratore e del denominatore esistono, è possibile applicare il teorema di de l'Hôpital.
$\lim_{x \rightarrow 0}(\frac{e^x -1 -x}{\sin² x})=\lim_{x \rightarrow 0}(\frac{e^x -1 -x}{x²})=\lim_{x \rightarrow 0}(\frac{e^x -1}{2x})=\lim_{x \rightarrow 0}(\frac{e^x}{2})=\frac{1}{2}$.
Nota: è stata utilizzata anche la seguente tendenza asintotica: $ε(x) \rightarrow 0$, $\sin ε(x)$ ~ $ε(x)$
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Livello 4