[Risolto] Teorema del resto

RIPASSO
La divisione euclidea fra un polinomio numeratore N(x) e un polinomio denominatore D(x) è definita dalle due condizioni
* N(x) = Q(x)*D(x) + R(x)
* 0 <= grado[R(x)] < grado[D(x)]
Nel caso che il resto R sia zero Q(x) si chiama quoto, se no si chiama quoziente.
Nel caso che il divisore D(x) sia un binomio lineare (D(x) = a*x + b) il resto R, dovendo essere di grado zero, è una costante.
Se il binomio è monico (D(x) = b(x) = x - r) allora R = N(r) [Teorema del resto].
Se il binomio non è monico (D(x) = a*x + b) allora, dividendo per "a" entrambi gli operandi, si ha
* p(x) = N(x)/a
* b(x) = D(x)/a
e la divisione euclidea fra p(x) e b(x) dà il medesimo Q(x), ma "1/a" volte R(x)
* p(x) = Q(x)*b(x) + R(x)/a
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ESERCIZIO
I polinomi dati sono già in forma normale ridotta
* p(x) = x^3 + (4/3)*x^2 - 2*x + 1 = ((x + 4/3)*x - 2)*x + 1
* b(x) = x - 2/3
quindi il resto vale p(2/3), che si calcola dall'espressione che minimizza le moltiplicazioni
* p(2/3) = ((2/3 + 4/3)*2/3 - 2)*2/3 + 1 = 5/9
denormalizzandoli si ha
* N(x) = 3*(x^3 + (4/3)*x^2 - 2*x + 1) = ((3*x + 4)*x - 6)*x + 3
* D(x) = 3*x - 2
per i quali si ha
* N(x) = 3*(x^3 + (4/3)*x^2 - 2*x + 1) = (3*x - 2)*(x^2 + 2*x - 2/3) + 5/3
con un resto che è tre volte quello di p(x)/b(x).

(x^3 + 4/3·x^2 - 2·x + 1)/(x - 2/3)

Il resto della divisione è:

P(2/3)=R=(2/3)^3 + 4/3·(2/3)^2 - 2·(2/3) + 1

R=8/27 + 16/27 - 4/3 + 1= 5/9