Determina il valore della seguente somma.
Determina il valore della seguente somma.
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Livello 2
Problema:
Si determini il valore della seguente somma:
$\sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n}{k}$
Soluzione:
Per la definizione di binomiale si ha:
$\sum_{k=0}^n (-1)^k \frac{n!}{k!(n-k)!}$
Considerando il teorema di Newton
$(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}a^kb^{n-k}$
si ottiene, nel caso $a=-1$ e $b=1$, la seguente uguaglianza:
$(-1+1)^n=\sum_{k=0}^n (-1)^k \frac{n!}{k!(n-k)!}$
Ciò significa che $\sum_{k=0}^n (-1)^k \frac{n!}{k!(n-k)!}=0^n=0$
3550
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Livello 5