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Livello 2
Consideriamo la formula di Newton per (x-a)ⁿ
$ \displaystyle\sum_{k=0} {n \choose k} (-1)^ka^k x^{n-k} = (x-a)^n$
Nel caso x = a si avrà
$ \displaystyle\sum_{k=0} {n \choose k} (-1)^k a^k a^{n-k} = (a-a)^n = 0 $
$ \displaystyle\sum_{k=0} {n \choose k} (-1)^k a^n = 0 $
$ a^n \displaystyle\sum_{k=0} {n \choose k} (-1)^k = 0 $
Essendo a^n un numero diverso da zero risulta la tesi e cioè
$ \displaystyle\sum_{k=0} {n \choose k} (-1)^k = 0 $
La somma dei coefficienti binomiali persi a segno alterni è nulla.
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Livello 5