TEOREMA DEI VALORI INTERMEDI.

Question

Teorema dei valori intermedi Vero o falso?a. se una funzione f è continua nell'intervallo $[0,2]$ e ammette minimo uguale a 0 e massimo uguale a 4, allora esiste certamente x_0  in [0,2]$ tale che f(x_0)=3b. se una funzione f è definita nell'intervallo $(-2,2]$ e ammette minimo uguale a 0 e massimo uguale a 4, allora esiste certamente x_0  in [0,2]$ tale che f(x_0)=1c. se una funzione f è definita nell'intervallo $[0,2]$ e ammette minimo uguale a 0 e massimo uguale a 4, ma è discontinua in qualche punto dell'intervallo $[0,2]$, allora potrebbe non esistere alcun x_0  in [0,2]$ tale che f(x_0)=3d. se una funzione f è continua nell'intervallo $[0,2]$ e ammette minimo uguale a 0 e massimo uguale a 3 , allora, considerata la funzione g definita da g(x)=e^{f(x)}, esiste x_0  in [0,2]$ tale che g(x_0)=8$ [attach]88478[/attach]

cmc · Accepted Answer

a. Vera in virtù del teorema dei valori intermedi

b. Falsa. Per applicare il teorema dei valori intermedi è necessario che sia continua.

c. Vera. Essendo discontinua non si può applicare il teorema dei valori intermedi. Esempio

d. Vera.

$g(x) = e^f(x)$

Osserviamo che la funzione esponenziale y = e^x è una funzione continua e strettamente crescente in ℝ.

Se indichiamo con

x₁ = un punto di minimo con f(x₁) = 0
x₂ = un punto di massimo con f(x₂) = 3

allora per quanto osservato in precedenza

$g(x_1) = e^{f(x_1} = 1$ è ancora un punto di minimo
$g(x_2) = e^{f(x_2} = e^3$ è ancora un punto di massimo
g(x) è una composizione di funzioni continue, quindi continua.

Allora per il teorema dei valori intermedi esiste un punto x₀ tale che $g(x_0) = e^{f(x_0)} = 8$ visto che 8∈[1, e³]

cmc

(@cmc)

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06/09/2024 09:16

[Risolto] TEOREMA DEI VALORI INTERMEDI.

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