[Risolto] TEOREMA DEI VALORI INTERMEDI.

Problema:

Si verifichi che per la seguente funzione, nel dato intervallo, vale il teorema dei valori intermedi:

$f(x)=f_1(x) \cup f_2(x)$, [-3,3]

$f_1(x)=x², x≥0$

$f_2(x)=e^x -1, x<0$ 

Soluzione:

Il teorema dei valori intermedi asserisce che se $f$ è una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato [a,b], allora $f$ assume tutti i valori compresi tra il suo massimo assoluto ed il suo minimo assoluto almeno una volta.

Per verificare dunque l'applicabilità del teorema è necessario verificare che la funzione data sia continua in $[a,b]=[-3,3]$.

$\lim_{x \rightarrow 0^+} f_1(x)=0$

$\lim_{x \rightarrow 0^-} f_2(x)=0$

Poiché la funzione è continua in $x=0$ e poiché $x=0$ appartiene all'intervallo $[-3, 3]$, il teorema dei valori intermedi risulta applicabile ed i valori intermedi y=c nell'intervallo dato sono definiti come:

$\lim_{x \rightarrow -3} f_2(x) < c < \lim_{x \rightarrow 3} f_1(x)$

$e^{-3}-1<c<9$