[Risolto] TEOREMA DEI VALORI INTERMEDI.

Problema:

Si verifichi che per la seguente funzione, nel dato intervallo, vale il teorema dei valori intermedi:

$f(x)=f_1(x) \cup f_2(x)$, [-1,1]

$f_1(x)=x², x≥0$

$f_2(x)=x-1, x<0$ 

Soluzione:

Il teorema dei valori intermedi asserisce che se $f$ è una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato [a,b], allora $f$ assume tutti i valori compresi tra il suo massimo assoluto ed il suo minimo assoluto almeno una volta.

Per verificare dunque l'applicabilità del teorema è necessario verificare che la funzione data sia continua in $[a,b]=[-1,1]$.

$\lim_{x \rightarrow 0^+} f_1(x)=0$

$\lim_{x \rightarrow 0^-} f_2(x)=-1$

Poiché la funzione non è continua in $x=0$ e poiché $x=0$ appartiene all'intervallo $[-1,1]$,  il teorema dei valori intermedi non risulta applicabile.