[Risolto] TEOREMA DEI VALORI INTERMEDI.

Problema:

Si verifichi che per la seguente funzione, nel dato intervallo, vale il teorema dei valori intermedi:

$f(x)=\log_2 |x-1|$, [2,3]

Soluzione:

Il teorema dei valori intermedi asserisce che se $f$ è una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato [a,b], allora $f$ assume tutti i valori compresi tra il suo massimo assoluto ed il suo minimo assoluto almeno una volta.

Per verificare dunque l'applicabilità del teorema è necessario verificare che la funzione data sia continua in $[a,b]=[2,3]$.

Prima di verificare la continuità di $f(x)$ nell'intervallo dato, è opportuno dividerla in due funzioni:

Per x>1: $f^+(x)=\log_2 (x-1)$

Per x<1: $f^-(x)=\log_2 (1-x)$.

Dato che $f^+(x)$ risulta continua nell'intervallo [2,3], il teorema dei valori intermedi risulta applicabile.

Poiché la funzione logaritmo è strettamente crescente si ha che essa assumerà in [2,3] i valori y=c definiti come segue:

$\lim_{x \rightarrow 2} (f^+(x))<c<\lim_{x \rightarrow 3} (f^+(x))$

$0<x<1$