In un triangolo $A B C$ si ha:
$$
A \widehat{B C}=\beta=\arccos \frac{3}{4} \text { e } A \widehat{C} B=2 \beta
$$
Sapendo che il perimetro del triangolo è $15 a$, determina le misure dei lati. (Vedi il suggerimento dell'esercizio precedente.)
In un triangolo $A B C$ si ha:
$$
A \widehat{B C}=\beta=\arccos \frac{3}{4} \text { e } A \widehat{C} B=2 \beta
$$
Sapendo che il perimetro del triangolo è $15 a$, determina le misure dei lati. (Vedi il suggerimento dell'esercizio precedente.)
294
punti
Livello 1
Questo é semplice.
Per il teorema dei seni risulta
AB/sin(2b) = AC/sin(b) = BC/sin(P^-2b-b) = BC/sin(3b)
perché seni di angoli supplementari sono uguali.
Ponendo allora provvisoriamente AB = x
AC = x sin(b)/sin(2b) = x sin(b)/[2 sin(b) cos(b)] = x/(2*3/4) = x : 3/2 = 2/3 x
BC = AC sin(3b)/sin(b).
Ora sviluppiamo
sin(3b) = sin(2b + b) = sin(2b) cos(b) + cos(2b) sin b =
= 2 sin(b) cos^2(b) + sin(b) (cos^2(b) - sin^2(b))
e quindi
sin(3b)/sin(b) = 2 cos^2(b) + cos^2(b) - 1 + cos^2(b) =
= 4 cos^2(b) - 1 = 4*(3/4)^2 - 1 = 4*9/16 - 1 = 9/4 - 1 = 5/4
e dunque BC = 2/3 x * 5/4 = 5/6 x
Da qui risulta subito
x + 2/3 x + 5/6 x = 15 a
6x + 4x + 5x = 90 a
x = 90/15 a = 6 a e le misure dei lati sono allora
AB = 6a, AC = 2/3 * 6a = 4a e BC = 5/6* 6a = 5a.
45559
punti
Livello 7