[Risolto] TEOREMA DEGLI ZERI

Problema:

Stabilisci se la seguente funzione soddisfa le ipotesi del teorema degli zeri nell'intervallo indicato, motivando adeguatamente la risposta.

$f(x)=x⁴-x-1$, $[1,2]$

Soluzione:

Il teorema degli zeri, conosciuto anche come teorema di Bolzano, asserisce che in una funzione $f$ continua in un certo intervallo $[a,b]$, con $f(a)f(b)<0$, esiste un punto intermedio $c\in [a,b]$ tale che $f(c)=0$.

Dunque per verificare se il teorema è applicabile ad $f(x)=x⁴-x-1$ in $[a,b]=[1,2]$, è necessario verificare che essa sia continua nel dato intervallo e che abbia segni discordi agli estremi del medesimo intervallo.

$f(x)$ è continua in tutto $\mathbb{R}$ dato che essa è polinomiale.

$f(a)=f(1)=-1$

$f(b)=f(2)=13$ 

Poiché $f(a)f(b)=-13<0$ il teorema degli zeri risulta applicabile.