[Risolto] TEOREMA DEGLI ZERI

a.  

• $ f(x) = x cos(\frac{1}{x}) = \frac {1}{\pi} \quad \text{per}\,\, x = -\frac{1}{\pi}$
• $ f(x) = x cos(\frac{1}{x}) = -\frac {1}{\pi} \quad \text{per}\,\, x = \frac{1}{\pi}$

Per poter affermare che la funzione è continua nell'intervallo dato è sufficiente dimostrarlo che lo è nello 0. (Fuori dallo zero è composizione e prodotto di funzioni continue).

• f(0) = 0
• $\displaystyle\lim_{x \to 0} xcos(\frac{1}{x}) = 0$

Con un cambio di variabile il risultato risulta evidente. Poniamo y = 1/x ⇒ x = 1/y. Se x → 0  allora y → ±∞

$\displaystyle\lim_{y \to \pm \infty} \frac{ cos(y)}{y} = 0$

Tutte le ipotesi del teorema degli zeri sono soddisfatte, quindi esiste almeno un valore compreso tra [-1/π, 1/π] in cui si annulla.

b.  dimostriamo che ve ne sono infiniti.  

Risolviamo l'equazione 

$ 0 = x cos(\frac{1}{x});  $      con |x| < 1/π  (infiniti valori meno due sono sempre infiniti valori}

• La soluzione banale x = 0 
• Le altre soluzioni sono date dalla 

$cos(\frac{1}{x}) = 0$

$ \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2} + k \pi; \quad k\in ℤ $

$ \frac{1}{x} = \frac{\pi + 2 k \pi}{2}; \quad k\in ℤ $

$ x = \frac {2}{\pi +2k\pi}; \quad k\in ℤ $

eliminando i due punti fuori dall'intervallo all'interno dello stesso ne rimarranno infiniti, uno per ogni valore di k intero relativo.