[Risolto] TEOREMA DEGLI ZERI

Problema:

Stabilisci se la seguente funzione soddisfa le ipotesi del teorema degli zeri nell'intervallo indicato, motivando adeguatamente la risposta.

$f(x)=\sin x - \cos x$, $[0,π]$

Cambia la risposta considerando l'intervallo $[-π,π]$?

Soluzione:

Il teorema degli zeri, conosciuto anche come teorema di Bolzano, asserisce che in una funzione $f$ continua in un certo intervallo $[a,b]$, con $f(a)f(b)<0$, esiste un punto intermedio $c\in [a,b]$ tale che $f(c)=0$.

Dunque per verificare se il teorema è applicabile ad $f(x)=\sin x - \cos x$ in $[a,b]=[0,π]$, è necessario verificare che essa sia continua nel dato intervallo e che abbia segni discordi agli estremi del medesimo intervallo.

$f(x)$ è continua in tutto $\mathbb{R}$ dato che essa è composta da goniometriche basilari diverse dalla tangente.

$f(a)=f(0)=-1$

$f(b)=f(π)=1$ 

Poiché $f(a)f(b)=-1<0$ il teorema degli zeri risulta applicabile.

Il teorema degli zeri non risulterebbe applicabile anche in $[-π,π]$ dato che

$f(-π)=1=f(π)$.