[Risolto] TEOREMA DEGLI ZERI

Problema:

Stabilisci se la seguente funzione soddisfa le ipotesi del teorema degli zeri nell'intervallo indicato, motivando adeguatamente la risposta.

$f(x)=e^{\frac{x}{1-x}}-x+1$, $[1,2]$

Soluzione:

Il teorema degli zeri, conosciuto anche come teorema di Bolzano, asserisce che in una funzione $f$ continua in un certo intervallo $[a,b]$, con $f(a)f(b)<0$, esiste un punto intermedio $c\in [a,b]$ tale che $f(c)=0$.

Dunque per verificare se il teorema è applicabile ad $f(x)=e^{\frac{x}{1-x}}-x+1$ in $[a,b]=[1,2]$, è necessario verificare che essa sia continua nel dato intervallo e che abbia segni discordi agli estremi del medesimo intervallo.

Poichè $f(x)$ non esiste in $1-x=0\rightarrow x=1$ e poiché l'intervallo è chiuso e comprende dunque $x=1$, il teorema di Bolzano non risulta applicabile.